9月 26 2026

関数を得意にしよう【比例・反比例】

こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。

天気の悪い日が続いていますね。今年の９月は本当に雨の多い月でした。
中間テストも終わり、各学年数学の授業は関数の単元に入っている頃だと思います。
関数は苦手になる人の多い単元でもあります。そこで、関数について解説していこうと思います。
まず今日は中学１年生で学習する比例と反比例についてです。

そもそも「関数」とは？

関数と聞くととても難しそうと感じる人もいるかもしれません。
関数とは、ある数\(x\)を決めると、それに対応する別の数\(y\)もただ１つに決まる関係を言います。

例えば「1個100円のお菓子を買うとき、買う個数によって代金が決まる」という関係です。

個数\(x\)	１個	２個	３個	４個
代金\(y\)	１００円	２００円	３００円	４００円

このように、個数の数が決まると、代金もただ１つの数に決まります。
このような関係を関数と言います。

そして中学校では４つの関数を学習します。
その中で１年生に学習する関数が比例と反比例です。

比例とは

比例とは\(x\)の値が２倍、３倍となると、\(y\)の値も２倍、３倍となる関係になっている関数です。
例えば先程、関数の解説の際に示した例は比例になります。

１個100円のお菓子を買うとき、買う個数が増えると代金も増えましたね。

個数\(x\)が1個から2個に増えると、代金\(y\)は100円から200円に増えました。
また、個数\(x\)が1個から3個に増えると代金\(y\)は100円から300円に増えました。

この\(x\)と\(y\)の関係は\(x\)が2倍、3倍と変化すると、\(y\)も2倍、3倍と変化する関係になっています。つまり、個数\(x\)と代金\(y\)は比例の関係になっていると言えます。

比例の式とグラフ

比例の式は\(y=ax\)と表せます。この\(a\)を比例定数と言い、\(a=\frac{y}{x}\)で求めることができ、一定の値になります。比例の式を求める問題は、この比例定数を求めれば解くことができます。

①比例の式を求めてみよう。

問題　\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=3\)の時\(y=9\)です。\(x\)と\(y\)の関係を式に表しなさい。

解き方
\(y\)は\(x\)に比例するので、式は比例の式\(y=ax\)になります。
この式に\(x=3,y=9\)を代入します。
\(9=3a\)
右辺、左辺を入替えて
\(3a=9\)
両辺に\(a\)の係数\(3\)の逆数\(\frac{1}{3}\)を掛けて
\(\frac{1}{3}×3a=9×\frac{1}{3}\)
約分して
\(a=3\)

\(a\)の値が\(3\)になりましたので、
比例の式\(y=ax\)の\(a\)を\(3\)にして
\(y=3x\)と求めることが出来ました。

\(a\)の値を求めるときは、先程も説明しましたが、
\(a\)は\(\frac{y}{x}\)で求めることが出来ますので、この式に代入しても構いません。
\(a=\frac{y}{x}\)に\(x=3,y=9\)を代入して
\(a=\frac{9}{3}\)よって\(a=3\)

②比例のグラフを確認しよう

比例のグラフは原点を通る直線になります。
また比例定数\(a\)の符号によって傾き方が変わります。
\(a＞0\)の時は右上がり、\(a＜0\)の時は右下がりになります。

【比例のグラフの特徴】

原点を通る直線になる
\(a＞0\)の時は右上がり、\(a＜0\)の時は右下がりになる
\(a\)の絶対値が大きいほどグラフの傾きが大きくなる

反比例とは

反比例とは\(x\)の値が２倍、３倍となると、\(y\)の値は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍となる関係になっている関数です。

例えば、12個のお菓子を何人かで分けてみましょう。

人数\(x\)	1人	2人	3人	4人	6人
個数\(y\)	12個	6個	4個	3個	2個

人数\(x\)が1人から2人に変化すると、個数\(y\)は12個から6個に変化します。
人数\(x\)が1人から3人に変化すると、個数\(y\)は12個から4個に変化します。

この\(x\)と\(y\)の関係は\(x\)が2倍、3倍と変化すると、\(y\)は\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍と変化する関係になっています。つまり、個数\(x\)と代金\(y\)は反比例の関係になっていると言えます。

反比例の式をグラフ

反比例の式は\(y=\frac{a}{x}\)と表せます。この\(a\)を比例定数と言い、\(a=xy\)で求めることができ、一定の値になります。反比例の式を求める問題も比例と同様、この比例定数を求めれば解くことができます。

①反比例の式を求めてみよう

問題　\(y\)は\(x\)に反比例し、\(x=3\)の時\(y=4\)です。\(x\)と\(y\)の関係を式に表しなさい。

解き方
\(y\)は\(x\)に反比例するので、式は反比例の式\(y=\frac{a}{x}\)になります。
この式に\(x=3,y=4\)を代入します。
\(4=\frac{a}{3}\)
右辺、左辺を入替えて
\(\frac{a}{3}=4\)
両辺に\(a\)の係数\(\frac{1}{3}\)の逆数\(3\)を掛けて
\(3×\frac{a}{3}=4×3\)
約分して
\(a=12\)

\(a\)の値が\(12\)になりましたので、
反比例の式\(y=\frac{a}{x}\)の\(a\)を\(12\)にして
\(y=\frac{12}{x}\)と求めることが出来ました。

\(a\)の値を求めるときは、先程も説明しましたが、
\(a\)は\(xy\)で求めることが出来ますので、この式に代入しても構いません。
\(a=xy\)に\(x=3,y=4\)を代入して
\(a=3×4\)よって\(a=12\)

②反比例のグラフを確認しよう

反比例のグラフは\(x\)軸、\(y\)軸とは交わらない双曲線になります。
また比例定数\(a\)の符号によってグラフを書く位置が変わります。

比例、反比例の式やグラフの特徴は理解できましたか？
ここをしっかりと理解することが、次の1次関数に繋がります。
頑張りましょう。

家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。

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