関数を得意にしよう【一次関数①】
こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。
すっかり秋めいてきましたね。今年は天気が悪かった為か、それほど残暑が厳しくなかったような気がします。
雨の多かった９月も終わり、１０月が始まりました。体育祭や文化祭など楽しみな行事も多くなりますね。
授業ではそれぞれの学年で関数を学んでいると思います。
そこで、今日は前回に続いて関数の２回目の記事になります。今日は２年生で学習する関数の一次関数について解説していこうと思います。
一次関数とは
前回説明しましたが、関数とは「\(x\)の値が決まるとそれに伴って対応する\(y\)の値もただ１つに決まる」という関係を表すのでしたね。
では一次関数では\(x\)と\(y\)には、どのような関係があるのか確認してみましょう。
まず次の2つ例の関係を考えてみましょう。
〈例１〉
1本100円の鉛筆を\(x\)本買ったときの代金を\(y\)円とします。
この時の本数と代金の関係を表にするとこのようになります。
| 本数(\(x\)) | ０ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| 代金(\(y\)) | ０ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
〈例２〉
500円の筆箱と1本100円の鉛筆を\(x\)本買ったときの代金を\(y\)円とします。
この時の本数と代金の関係を表にするとこのようになります。
| 本数(\(x\)) | ０ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| 代金(\(y\)) | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |
〈例１〉は本数が2倍、3倍、4倍と変化すると、代金も2倍、3倍、4倍と変化しているので、比例の関係になっています。
よって〈例１〉は、\(y=100x\)と表すことが出来ます。
また、上の2つの例の同じ本数に対応する代金を比べると、〈例２〉は〈例１〉より500円ずつ多くなっていることが分かります。つまり筆箱が無い時より500円多くなっているので、〈例２〉の式は〈例１〉の式に500円足せばいいことが分かります。
よって〈例２〉の式は\(y=100x+500\)と表せます。
このような2つの式、
\(y=100x\)、\(y=100x+500\)
のように、\(x\)の一次式で表せるとき、\(y\)は\(x\)の一次関数であると言います。
つまり、一次関数は
\(y=ax+b\) (\(a\)、\(b\)は定数)
と表します。
また、比例は\(b\)の値が\(0\)になっている一次関数の特別な場合です。
比例も一次関数であることを、しっかりと理解しましょう。
\(y=ax+b\)の\(a\)と\(b\)の意味
先程の〈例２〉の表をもう一度確認しましょう。
| 本数(\(x\)) | ０ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| 代金(\(y\)) | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |
これは\(y=100x+500\)という式で表すことが出来ました。
この式の場合\(a\)は100になります。
表から\(x\)の値が１ずつ増えると\(y\)の値は100ずつ増えているのが分かります。
つまり、\(a\)は\(x\)が１増えたときの\(y\)の増減の値を表します。
また、この式の場合\(b\)は500になります。
これは\(x\)の値が\(0\)のときの\(y\)の値です。
一次関数\(y=ax+b\)のそれぞれの文字の意味を説明すると次のようになります。
- \(x\) 自分で決める数、変化する数
- \(y\) \(x\)の値によって決まる数
- \(a\) \(x\)が１増えたときの\(y\)の増減する値
- \(b\) \(x\)が０の時の\(y\)の値
変化の割合
\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量を変化の割合といいます。
そして次の計算式で求めます。
また上の式を変形させた次の式も重要です。
変化の割合を求めてみよう
\(y=2x+3\)の式で考えてみましょう。
〈\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変わるときの変化の割合〉
手順①
\(x=1\)と\(x=3\)の時の\(y\)の値を求める
\(x=1\)、\(x=3\)を\(y=2x+3\)に代入
\(x=1\)のとき\(y=2×1+3=5\)
\(x=3\)のとき\(y=2×3+3=9\)
手順②
\(x\)と\(y\)の増加量を求める
\(x\)の増加量
\(x\)は１から３まで変化するので、増加量は\(3-1=2\)
\(y\)の増加量
\(y\)は５から９まで変化するので、増加量は\(9-5=4\)
手順③
変化の割合を求める式に代入する
\(変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{4}{2}=2\)
〈\(x\)が\(-3\)から\(2\)まで変わるときの変化の割合〉
先程の手順通り求めてみましょう。
\(x=-3\)のとき\(y=2×(-3)+3=-3\)
\(x=2\)のとき\(y=2×2+3=7\)
\(x\)の増加量は\(-3\)から\(2\)まで変化するので
\(2-(-3)=5\)
\(y\)の増加量は\(-3\)から\(7\)まで変化するので
\(7-(-3)=10\)
よって
\(変化の割合=\frac{10}{5}=2\)となります。
一次関数の変化の割合
変化の割合とは、\(y\)の増加量を\(x\)の増加量で割るので、\(x\)が\(1\)増えるときの\(y\)の増加量を表しています。これは、\(a\)の値の意味と同じですよね？
上の例も\(x\)の増加量はそれぞれ違いますが、変化の割合はどちらも\(2\)になっています。そしてこれは\(y=2x+3\)の\(a\)の値\(2\)と同じになっています。
つまり、一次関数の変化の割合は一定で\(a\)の値と等しくなります。
ということは一次関数の場合は変化の割合は求めなくても、\(a\)の値を答えればいいことになりますね。
\(y=3x+1\)の変化の割合は\(3\)
\(y=-3x+4\)の変化の割合は\(-3\)となります。
また、変化の割合が正の数の時は、\(x\)が増加すると\(y\)の値も増加し
変化の割合が負の数の時は、\(x\)が増加すると\(y\)は減少します。
\(y\)の増加量を求める問題
一次関数の問題に\(y\)の増加量を問われる問題があります。これも意外と間違いの多い問題です。
\(y\)の増加量を求めてみよう
〈問題〉
\(y=3x+2\)で\(x\)の増加量が\(4\)の時の\(y\)の増加量を求めなさい。
この問題は、先程変化の割合を求める式を変形して紹介した、
\(y\)の増加量＝\(x\)の増加量×変化の割合
に代入して求めます。
この式の場合、変化の割合は\(3\)ですので
\(y\)の増加量＝４×３＝１２
よって答えは１２になります。
よくある間違えが、\(y=3x+2\)に\(x=4\)を代入して
\(3×4+2=14\)と答えてしまう人がいます。
これは\(y\)の増加量ではなく\(x=4\)の時の\(y\)の値を求めることになります。
- \(x\)の増加量が\(4\)のときの\(y\)の増加量を求めなさい
- \(x\)の値が\(4\)のときの\(y\)の値を求めなさい
この2つは全く違う問題です。
問われているのが増加量なのか値なのか、問題文でしっかりと確認しましょう。
今日は一次関数の基本的な解説をしました。一次関数は2年生の数学の中でも苦手になる人が多い単元です。
今日解説した一次関数の基本をしっかりと理解し、次のグラフや一次関数の式を求める問題につなげましょう。
比例、反比例が不安な人はこちらもチェックしてください。
“関数を得意にしよう【比例・反比例】”
練習問題にチャレンジ
問題①
次の式の中から、一次関数であるものをすべて選びなさい。
(ア) \(y=5x-3\) （イ） \(y=\frac{2}{x}\)
(ウ) \(y=\frac{2}{5}x\) (エ) \(y=10-3x\)
問題②
\(y\)が\(x\)の一次関数で、\(x\)の値が\(2\)から\(5\)まで変わるとき、\(y\)の値は\(-3\)から\(9\)まで変わります。ことのき、この一次関数の変化の割合を求めなさい。
問題③
次の一次関数の変化の割合を言いなさい。また、\(x\)の値が増加すると\(y\)の値は増加しますか、減少しますか。
（ア） \(y=8x+3\) （イ） \(y=-4x+7\) （ウ） \(y=\frac{1}{3}x+1\)
問題④
一次関数\(y=-\frac{1}{3}x+2\)で、\(x\)の増加量が\(6\)のときの、\(y\)の増加量を求めなさい。
解答①
(ア) (ウ) (エ)
解答②
4
\(x\)の増加量 \(5-2=3\)
\(y\)の増加量 \(9-(-3)=12\)
\(変化の割合=\frac{12}{3}=4\)
解答③
（ア） 変化の割合 \(8\) 増加する
（イ） 変化の割合 \(-4\) 減少する
（ウ） 変化の割合 \(\frac{1}{3}\) 増加する
解答④
\(-2\)
\(y\)の増加量=\(-\frac{1}{3}×6=-2\)
家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。
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