関数を得意にしよう【一次関数②】
こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。
すっかり季節が秋に変わり、朝夕は肌寒く感じるようになりましたね。季節の変わり目で、体調を崩す人も増えているようです。今週は咲桜の生徒さんも少し風邪気味の人もいました。
さて、前回は一次関数の基本を解説しました。今日はさらに一次関数の理解を深めていきたいと思います。
そこで今日は一次関数のグラフについて解説します。
一次関数の基本が不安な人はこちらをチェックしてください。
“関数を得意にしよう【一次関数①】”
一次関数のグラフと比例のグラフ
１年生で比例のグラフを学びました。比例のグラフは原点を通る直線でしたね。
では一次関数と比例のグラフを比べてみましょう。
\(y=2x\) と \(y=2x+3\) のグラフを比較してみましょう。
まず、それぞれの変化の様子を表で確認してみます。
①\(y=2x\)
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(y\) | \(-10\) | \(-8\) | \(-6\) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) |
②\(y=2x+3\)
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(y\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(9\) | \(11\) | \(13\) |
上の表を基に座標を１つずつ取ってグラフを書いてみると、このようになります。
このグラフから分かるように一次関数のグラフも直線になります。
また、二つのグラフを比較してみると、平行になっていて、\(y=2x+3\)のグラフは\(y=2x\)のグラフを上に３だけ平行移動しているのが分かります。
【平行からわかること】
２つのグラフは平行です。これはどちらも変化の割合が２で同じになっているからです。
変化の割合は前回も説明しましたが、次の式で表せることが出来ましたね。
変化の割合が２ということは、\(x\) が１増加すると \(y\) は２増加することを表しています。
その為２つのグラフの傾き方は同じになり、平行なグラフとなります。
その為 \(y=ax+b\) の \(a\) の値は、変化の割合や傾きと呼びます。
つまり、
変化の割合（\(y=ax+b\) の \(a\) の値）が同じグラフは平行になります。
【上に３平行移動からわかること】
２つのグラフの \(y\) 軸との交点は
\(y=2x\) は \((0 , 0)\)
\(y=2x+3\) は \((0 . 3)\)です。
これは\(y=ax+b\) の \(b\) の部分になります。
\(b\)は切片と呼ばれ、\(x=0\) のときの \(y\) の値になります。
つまり、グラフでいうと \(y\) 軸との交点を表します。
\(y=2x\) と \(y=2x+3\) のグラフは、それぞれ \((0 , 0)\) と \((0 , 3)\) を通り、平行なグラフなので、
\(y=2x+3\) のグラフは \(y=2x\) のグラフを上に \(3\) だけ平行移動したグラフになります。
つまり
- 切片(\(y=ax+b\) の \(b\) の値)が同じグラフは \(y\) 軸上で交わる。
- \(y=ax+b\) のグラフは、\(y=ax\) のグラフを \(y\) 軸方向に \(b\) だけ平行移動したグラフになる。
一次関数のグラフの書き方
一次関数のグラフは上のように１つ１つ座標を取らなくても書くことが出来ます。
切片と変化の割合（傾き）を使ってグラフを書く方法を覚えましょう。
\(y=\frac{1}{2}x+1\) のグラフを書いてみよう
【手順① 切片を確認する】
\(y=\frac{1}{2}x+1\)の切片は \(1\) です。
つまり、\((0 , 1)\)の座標を通ります。
【手順② 傾きを確認する】
\(y=\frac{1}{2}x+1\) の傾きは \(\frac{1}{2}\) です。
つまり、\(x\) が \(2\) 増加すると、\(y\) が \(1\) 増加するという傾きをします。
切片の\((0 , 1)\)の座標から、\(x\) が \(2\) 増加するので、右に \(2\) 進んで、
そこから\(y\) が \(1\) 増加するので、上に \(1\) 進みます。
【手順③ 直線で結ぶ】
手順②のやり方で、
\(x\) が \(2\) 増加するので、右に \(2\) 進む、
そこから\(y\) が \(1\) 増加するので、上に \(1\) 進むという傾きを次々をとり、
直線で結ぶ。
つまり、
切片 \((0 , 1)\)
↓ 右に \(2\)進む
\((2 , 1)\)
↓ 上に \(1\) 進む
\((2 . 2)\)
となります。
このように次から次に傾きを取っていって、直線で結びます。
\(y=-\frac{2}{3}x-1\) のグラフを書いてみよう
次に傾きがマイナスになっている式のグラフを書いてみましょう。
手順は先ほどと同じです。
【手順① 切片を確認する】
\(y=-\frac{2}{3}x-1\) の切片は \(-1\) です。
つまり、\((0 , -1)\)の座標を通ります。
【手順② 傾きを確認する】
\(y=-\frac{2}{3}x-1\) の傾きは \(-\frac{2}{3}\) です。
ここで重要なのは、マイナスは分子に付けるということです。
ですので傾きを \(\frac{-2}{3}\) として考えます。
つまり、\(x\) が \(3\) 増加すると、\(y\) は \(2\) 減少するという傾きをします。
切片の\((0 , -1)\)の座標から、 \(x\) が \(3\) 増加するので、右に \(3\) 進んで、
そこから \(y\) が \(2\) 減少するので、下に \(2\) 進みます。
【手順③ 直線で結ぶ】
次々と傾きを取って、各点を直線で結ぶ。
つまり、
切片 \((0 , -1)\)
↓ 右に \(3\)進む
\((3 , -1)\)
↓ 下に \(2\) 進む
\((3 . -3)\)
となります。
そして、この傾きを次々の取って、直線で結びます。
一次関数のグラフの書き方のまとめ
一次関数のグラフの書き方を理解できましたか？
まず切片を取って、そこから傾きを取っていきましょう。
切片から傾きを考えるときは \(x\) は必ず増加しますので、右に進みます。
その次に \(y\) の増加量を考えます。
傾きがプラスのときは上に、マイナスのときは下に進めます。
このように覚えておくと間違えないと思います。
傾きがプラスのとき
傾きがマイナスのとき
また、傾きがプラスのときは右上がりのグラフになり、
傾きがマイナスのときは右下がりのグラフになります。
練習問題にチャレンジ
問題 次の式のグラフを書きなさい。
① \(y=x-2\)
② \(y=\frac{1}{3}x+2\)
③ \(y=-x+3\)
④ \(y=-\frac{3}{2}x-1\)
解答
①
②
③
④
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