咲桜のコラム

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解き方解説　数学

関数を得意にしよう【一次関数の式を求める②】

こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。

前回は一次関数の式の求め方の解説をしました。今日はその続きで、2点がわかっている時の式の求め方の解説をしたいと思います。

２点がわかるときの式の求め方

【グラフから式を求める】

次のようなグラフの式を求めてみましょう。

一次関数の式を求めるためには、切片を傾きの値が必要です。しかし、今回のグラフを見ると、切片の値が整数ではない為、はっきりとした数値が分かりません。

このような場合はまず傾きを求めます。グラフから \(x\)座標, \(y\) 座標共に、整数で読み取れる座標を２点見つけます。どの２点でもいいのですが、今回は(1，2)と(４，４)の２点にし、ここから傾きを求めます。

一次関数の傾きは、変化の割合と同じでしたね。

変化の割合＝yの増加量xの増加量　で求めることが出来ます。変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量} 　で求めることが出来ます。

グラフから \(x\) の増加量は３、\(y\) の増加量は２より、この式の傾きは

傾き＝変化の割合＝yの増加量xの増加量＝23　となります。傾き＝変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量}＝\frac{2}{3}　となります。

よってこの式は

y=23x+b　とすることが出来ます。y=\frac{2}{3}x+b 　とすることが出来ます。

この式に先ほど見つけた２点の座標のどちらかを代入し、ｂの値を求めます。

今回は(１，２)の座標を使い、\(x=1, y=2\) を代入します。

2=23×1+b2=\frac{2}{3}×1+b
b=2−23=43b=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}

よって、\(a=\frac{2}{3}\)、\(b=\frac{4}{3}\)より、このグラフの式は

y=23x+43　となります。y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3} 　 となります。

このように、２点がわかれば、その２点から傾きを求めることが出来ます。
次に、２点のうち計算しやすいと思う方の\(x, y\) の値を代入して、切片の値を求めます。

【２点がわかる文章問題から式を求める】

次の例題を解いてみましょう。

【例題】

\(y\) は \(x\) の一次関数で、２点(１，３)、（２，５）を通る直線であるとき、この一次関数の式を求めなさい。

今回も２点がわかるので、ここから傾きを求めます。

２点をＡ(１，３)、Ｂ(２，５)とすると、

傾き＝yの増加量xの増加量=Bのy座標ーAのy座標Bのx座標ーAのx座標傾き＝\frac{yの増加量}{xの増加量}=\frac{Bのy座標ーAのy座標}{Bのx座標ーAのx座標}

で求めます。つまり、

傾き＝5−32−1=21=2傾き＝\frac{5-3}{2-1}=\frac{2}{1}=2

よって、この一次関数の傾きは２になり、

y=2x+b　とすることが出来ます。y=2x+b　とすることが出来ます。

この式に、２点のどちらか、計算しやすいと思う方の値を代入します。
今回は(１，３)を使います。代入すると、

3=2×1+b3=2×1+b
b=1b=1

よってこの一次関数の式は、\(a=2, b=1\) なので、

y=2x+1　となります。y=2x+1 　となります。

様々な傾きを求めてみよう

【例題①】
２点A(２，３)、B(４、－2)を通る直線の傾き

−2−34−2=−52\frac{-2-3}{4-2}=-\frac{5}{2}

【例題②】
２点A(―１、―３)、　Ｂ(２，１)を通る直線の傾き

1−(−3)2−(−1)=43\frac{1-(-3)}{2-(-1)}=\frac{4}{3}

【傾きを求めるときの注意点】

【注意点①】引く方向を揃える

上の例題は両方ともBの値からＡの値を引いていますが、これに決まりは有りません。\(x, y\) 共に同じ方向から引けば、Ａの値からＢの値を引いても構いません。

例題①の場合、ＡからＢを引くと

3−(−2)2−4=5−2=−52\frac{3-(-2)}{2-4}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}

となり、どちらで計算しても\(-\frac{5}{2}\)になります。

大事なのは、引く方向を \(x\) と \(y\) で揃えることです。

【注意点②】マイナスの座標を引く時

上の例題②のように、マイナスの値を引く時に間違える人がいます。

例題②のような問題のときに多くある間違え

誤った解き方　　1−32−1=−2誤った解き方　　\frac{1-3}{2-1}=-2
正しい解き方　　1−(−3)2−(−1)=43正しい解き方　　\frac{1-(-3)}{2-(-1)}=\frac{4}{3}

このような誤った解き方をしないように、正しい解き方を理解しましょう。


\(y\) の増加量は、\(-3\) から \(1\) まで変化しているので、
\(1-(-3)\) と計算して \(4\) になります。
また、\(x\) の増加量は、\(-1\) から \(2\) まで変化しているので、
\(2-(-1)\) と計算して \(3\) になります。

このように、マイナスの数を引くときは、「\(-(-〇)\)」と式を立てましょう。

２点がわかるときの式の求め方のまとめ

今回は傾きから求める方法を解説しました。
これ以外にも。教科書には連立方程式を作って解く方法も載っています。
どちらを使ってもいいのですが、傾きから求める方が計算も簡単で効率がいいので、
私は咲桜の生徒さんには、こちらの方法で解くことを勧めています。

【解き方のまとめ】

【手順①】

２点から、変化の割合を求める式を利用して傾きを求める。

傾き＝変化の割合＝yの増加量xの増加量傾き＝変化の割合＝\frac{yの増加量}{xの増加量}

【手順②】

手順①で求めた傾きを、\(y=ax+b\) の \(a\) に代入する。

【手順③】

手順②の式に、２点のうち計算がしやすそうな方の \(x, y\) の値を代入して、\(b\) の値を求める。

【手順④】

手順③で求めた \(b\) の値を、\(y=ax+b\) の \(b\) に代入して、式を完成させる。

一次関数は2年生の数学の中でも、苦手にする人が多い単元です。
言い換えれば得意にすると、他の人との差を作ることができますよ。
是非頑張って取り組んでほしいです。
ここまでの一次関数について不安な方はこちらもチェックしてください。

一次関数の基本は、“関数を得意にしよう【一次関数①】”
一次関数のグラフの書き方は、“関数を得意にしよう【一次関数②】”
一次関数の式を求める①は、“関数を得意にしよう【一次関数の式を求める①】”

練習問題にチャレンジ

問題
⑴　次のグラフの式を求めなさい。


⑵　\(y\) は \(x\) の一次関数で、\(x=6\) のとき \(y=-4\) 、\(x=-3\) のとき \(y=-1\) となります。この一次関数の式を求めなさい。

解答
⑴　\(y=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}\)

解き方
グラフから \(x, y\) 共に整数の座標を２点読み取り、傾きを求める。
\(x\) の増加量は \(3\)、\(y\) の増加量は \(-4\) より、傾きは \(-\frac{4}{3}\)
\(y=-\frac{4}{3}x+b\) に、\(x=2, y=1\) を代入する。
\(1=-\frac{4}{3}×2+b\)
\(b=1+\frac{8}{3}\)
\(b=\frac{11}{3}\)

⑵　\(y=-\frac{1}{3}x-2\)

解き方
２点が(６，-４)、(-３、-１)より、傾きを求める。

傾き＝−4−(−1)6−(−3)=−39=−13傾き＝\frac{-4-(-1)}{6-(-3)}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}


\(y=-\frac{1}{3}x+b\) に、\(x=6, y=-4\) を代入する。
\(-4=-\frac{1}{3}×6+b\)
\(b=-4+2\)
\(b=-2\)


家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。


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