乗法の公式をマスターしよう　基本編

こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に活動していますプロ家庭教師の咲桜です。

GWも残り2日になりました。たくさん遊んで、楽しい思い出が作れましたか？
毎日部活動を頑張った人も多いかもしれません。
GWが終われば中間テストという学校も少なくありません。中3生の人は、受験生最初の定期テスト、いい結果を残したいと思っている人も多いはずです。そこで今日は中3数学の最初の単元、展開の乗法の公式について解説します。

展開とは

展開とは、単項式や多項式の積の形で表された式を、単項式の和の形に計算することです。
例えば\(2a(3b×4)\)や\((x+2)(y+3)\)を展開すると次のようになります。

このように１つ１つ順番に掛けていけば展開できます。その中でも特別な形になっている式は乗法の公式になっていますので、公式を使えば、効率よく展開することが出来ます。
では、どのような公式があるのか確認してみましょう。

\((x+a)(x+b)\)の公式

この公式は左の項が同じ形、右の項が同類項になっているときに使えます。この公式を先ほどのように展開すると\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)となります。

真ん中の項は\(a\)と\(b\)の和になり,右の項は\(a\)と\(b\)の積になります。符号の間違えに注意しましょう。
例えば
\((x+2)(x+5)=x^2+7x+10\)
\((x-2)(x-5)=x^2-7x+10\)
\((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\)
となります。

\((a+b)^2\) と \((a-b)^2\)の公式

この公式は加法、減法を2乗にするときに使えます。この公式を先ほどと同じように展開すると、\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)となります。

左の項は\(a×a\)をするので\(a^2\)、右の項は\(b×b\)をするので\(b^2\)になります。
真ん中の項は\(a\)と\(b\)を掛けたものが２つあるので、
\(2×a×b\)で\(2ab\)になります。
2乗、掛けて2倍、2乗と覚えましょう。
例えば
\((x+3)^2=x^2+6x+9\)になります。
最初の項は\(x×x\)、真ん中の項は\(2×x×3\)、最後の項は\(3^2\)と計算します。

\((a-b)\)も\((a+b)\)と同じように計算すれば大丈夫です。違いは真ん中の項が符号が－になるところです。\(2×a×(-b)\)になると考えればわかりますね。真ん中の項は\((a+b)\)では＋、\((a-b)\)では－になります。
また最後の項の符号は＋になります。これも\(-b×(-b)\)の計算になることから理解できます。最後の項の符号を－にしてしまう間違えがよく見られますので、注意してくださいね。そしてこれも2乗、掛けて2倍、2乗と覚えましょう。

例えば\((x-3)^2=x^2-6x+9\)となります。最初の項は\(x×x\)、真ん中の項は\(2×x×(-3)\)、最後の項は\((-3)^2\)と計算します。

\((a+b)(a-b)\)の公式

この公式は左の項は同じ形、右の項は絶対値が同じで符号の違う形になります。
この公式を展開すると\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)になります。

左の項は\(a×a\)をするので\(a^2\)、右の項は\(b×(-b)\)をするので\(-b^2\)になります。
まん中の項は\(-ab+ab\)の計算になるので\(0\)になる為無くなります。前に述べた公式と違い、展開すると項が2つになり、2乗ー2乗になります。2乗＋2乗にしてしまう間違いが多くみられます。符号の間違いに注意してください。

例えば\((x+5)(x-5)=x^2-25\)になります。

公式はこの4つになります。
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
公式の使い方を理解できましたか？　展開は１つずつ順番に掛けていけば計算できますので、公式が分からなくても答えを求めることができます。しかし、この次の単元の因数分解では、和の形から積の形にする、展開の反対の計算をします。公式が理解できていれば因数分解も解きやすくなりますので、この公式をしっかり身に付けてください。

練習問題にチャレンジ

問題
⑴　\((x+3)(x+5)\)
⑵　\((x-5)(x+4)\)
⑶　\((x-3)(x-6)\)
⑷　\((x+6)^2\)
⑸　\((x-5)^2\)
⑹　\((x+10)(x-10)\)

解答
⑴　\(x^2+8x+15\)
⑵　\(x^2-x-20\)
⑶　\(x^2-9x+18\)
⑷　\(x^2 +12x+36\)
⑸　\(x^2-10x+25\)
⑹　\(x^2-100\)

家庭教師の咲桜は、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。学習のお困りごとや心配ごとがありましたら、是非ご相談ください。