平方根の大小はこう比べる！
こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に個人で活動していますプロ家庭教師の咲桜です。
梅雨入りしてしばらくが過ぎましたが、今年は雨降りの日が少ない様に感じますね。今週は、期末テストの学校が多くあり、咲桜の生徒さんも皆、テスト勉強に頑張って取り組んでくれました。来週以降は高校生のテストが始まります。それぞれの目標に向かって頑張ってください。
さて、今日は前回の平方根をもう少し深く解説していきたいと思います。
平方根の大小
平方根の大小は、とても簡単に簡単です。
図のように面積が\(a\)と\(b\)の正方形があります。
面積が\(a\)の正方形の１辺の長さは\(a\)の平方根ですので\(\sqrt{a}\)、
面積が\(b\)の正方形の１辺の長さは\(b\)の平方根ですので\(\sqrt{b}\)です。
図からもわかるように、面積の大小は\(a<b\)で、正方形の１辺の長さの大小も\(\sqrt{a}<\sqrt{b}\)になります。
平方根の大小
\(a<b\) ならば \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\)
\(-a<-b\) ならば \(-\sqrt{a}<-\sqrt{b}\)
つまり
\(\sqrt{3}<\sqrt{5}\)
\(-\sqrt{3}>-\sqrt{5}\) になります。
４と\(\sqrt{15}\)の大小は？
共に\(\sqrt{ }\)の数の大小はとても分かりやすいですよね。
では、\(4\)と\(\sqrt{15}\)はどのように考えればいいのでしょうか？
ここで前回解説した内容を思い出してください。
\(\sqrt{9}=3\)でしたね。
\(3\)を根号を使って表すには、２乗して根号の中に入れればいいです。
\(a=\sqrt{a^2}\)
ということは、\(4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}\)になります。
つまり、\(4\)と\(\sqrt{15}\)の大小を考えるには、\(\sqrt{16}\)と\(\sqrt{15}\)を考えればいいのです。
\(\sqrt{16}>\sqrt{15}\)ですので、\(4>\sqrt{15}\)になります。
\(3\)と\(\sqrt{10}\)の大小は、\(3=\sqrt{9}\)より、
\(\sqrt{9}<\sqrt{10}\)ですので、
\(3<\sqrt{10}\)です。
\(-5\)と\(-\sqrt{26}\)の大小は、\(-5=-\sqrt{25}\)より、
\(-\sqrt{25}>-\sqrt{26}\)ですので、
\(-5>-\sqrt{26}\)です。
大小関係の発展問題を考えてみよう
\(\sqrt{a}<2\)となる自然数\(a\)を、すべて求めなさい。
これも２を根号を使って表します。\(2=\sqrt{4}\) より、
\(\sqrt{a}<2\) は \(\sqrt{a}<\sqrt{4}\) と表せます。
この不等号を満たすａの値を求めればよいので、ａの値は1,2,3になります。
\(\sqrt{12}<a<\sqrt{70}\)にあてはまる自然数\(a\)は、いくつありますか。
これも\(a\)を根号を使って表してみましょう。\(a=\sqrt{a^2}\)より、
\(\sqrt{12}<a<\sqrt{70}\) は \(\sqrt{12}<\sqrt{a^2}<\sqrt{70}\) と表せます。
12から70までの間にある平方数を考えればいいので、
\(a^2\)は16、25、36、49、64なので、答えは5個になります。
いかがでしたか？
平方根の大小関係を解く問題は、簡単なんだなと感じてもらえたらうれしいです。
是非、練習問題にチャレンジしてください！
練習問題にチャレンジ
問題１ 次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。
⑴ \(\sqrt{5}\)、 \(\sqrt{7}\)
⑵ \(\sqrt{50}\)、 \(7\)
⑶ \(0.5\)、 \(\sqrt{0.5}\)
⑷ \(-\sqrt{7}\)、 \(-\sqrt{11}\)
⑸ \(-\sqrt{5}\)、 \(-3\)
問題２ \(2<\sqrt{a}<3\)となる自然数\(a\)を、すべて求めなさい。
問題３ \(\sqrt{15}<a<\sqrt{85}\)にあてままる自然数\(a\)は、いくつありますか。
解答１
⑴ \(\sqrt{5}<\sqrt{7}\)
⑵ \(\sqrt{50}>7\) ( \(7=\sqrt{49}\) )
⑶ \(0.5<\sqrt{0.5}\) ( \(0.5=\sqrt{0.25}\) )
⑷ \(-\sqrt{7}>-\sqrt{11}\)
⑸ \(-\sqrt{5}>-3\) ( \(-3=-\sqrt{9}\) )
解答２
\(2<\sqrt{a}<3=\sqrt{4}<\sqrt{a}<\sqrt{9}\)より
\(5\)、\(6\)、\(7\)、\(8\)
解答３
\(\sqrt{15}<a<\sqrt{85}=\sqrt{15}<\sqrt{a^2}<\sqrt{85}\)より
\(16\)、\(25\)、\(36\)、\(49\)、\(64\)、\(81\)なので
\(6\)個
家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。
数学が苦手なお子様はお気軽にご相談ください。
家庭教師の咲桜について詳しくはこちら