平方根は実はとてもシンプル
こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に個人で活動していますプロ家庭教師の咲桜です。
いよいよサッカーのワールドカップが開催されましたね！ サッカー部の人やサッカーの好きな人にとっては、とても楽しみな日々が続きます。私もとても楽しみにしています。
それと同時に期末テストも始まってきます。サッカー日本代表と同じように、皆さんもテスト頑張ってくださいね。
中3生の今回の数学のテストには、平方根が含まれていると思います。初めて出てくるこの
\(\sqrt{ }\)という記号に、混乱している人もいるかもしれません。今日は、平方根について分かりやすく解説していきます。
平方根ってなんだろう？
「平方根」という言葉を聞いたり、\(\sqrt{ }\)の記号を見ると、難しそうに感じる人も多いかもしれません。でも実は、平方根は「2乗の逆を考える」だけの、とてもシンプルな考え方です。
例えば、９の平方根は何かを考えてみましょう。
これは、２乗したら９になる数は何ですか？と聞かれているのと同じです。
\(3^2=9\) \((-3)^2=9\)なので、９の平方根は\(3\)と\(-3\)です。
このように、平方根には正の数と負の数がありますので、必ず両方を忘れずに答えましょう。
ただし、０の平方根は０だけです。
●16の平方根→\(\pm4\)
●25の平方根→\(\pm5\)
●36の平方根→\(\pm6\)
もちろん整数だけではなく、分数、小数も平方根を表せます。
●\(\frac{4}{9}\)の平方根→\(\pm\frac{2}{3}\)
●\(0.49\)の平方根→\(\pm0.7\)
よくある間違えに注意しよう
16の平方根は\(\pm8\)と解答してしまうことがあります。これは2乗と2倍を間違えてしまっているのですね。
これは、割とよくある間違いです。皆さんも気を付けてください。
\(\sqrt{ }\)とは？
\(\sqrt{ }\)は根号という記号で、ルートと読みます。
では、どういう時に\(\sqrt{ }\)と使うのでしょうか？
２の平方根を考えてみましょう。これは2乗して２になる数を考えればいいのでしたね。
\(1^2=1\) 、 \(2^2=4\) なので、2乗して２になる数は整数では表すことはできません。
2乗して２になる数は、\(1.4142135623730950488……\)で、限りなく続く小数になります。
こういう時に使うのが\(\sqrt{ }\)です。
２の平方根は表すことが出来ないので、２を\(\sqrt{ }\)の中に入れて\(\pm\sqrt{2}\)と表します。
このように平方根を数で表すことが出来ない時に使うのが\(\sqrt{ }\)です。この根号という記号\(\sqrt{ }\)はとても便利な記号なのです。
●５の平方根→\(\pm\sqrt{5}\)
●0.3の平方根→\(\pm\sqrt{0.3}\)
●\(\frac{3}{5}\)の平方根→\(\pm\sqrt\frac{3}{5}\)
\(\sqrt{9}=3\)
\(\sqrt{ }\)の使い方が理解できたと思います。
では、\(\sqrt{9}\)、\(-\sqrt{9}\)の意味をもう一度考えてみましょう。
\(\sqrt{9}\)は2乗したら9になる、９の平方根の正の方の数です。つまり３と同じ値を表します。
同様に\(-\sqrt{9}\)は2乗したら9になる、９の平方根の負の方の数です。つまり\(-3\)と同じ値を表します。
●\(\sqrt{9}=3\)
●\(-\sqrt{9}=-3\)
ここは、混乱しやすいところですが、しっかり理解してくださいね。
ここで平方数という言葉を覚えておきましょう。
平方数とは2乗で出来ている数です。例えば４や９。これは\(2^2\)、\(3^2\)ですから平方数です。
どういう時に、\(\sqrt{ }\)で表した数が\(\sqrt{ }\)を使わずに表せるかというと、\(\sqrt{ }\)の中の数が、平方数になっている時です。
９は３の2乗ですから、平方数ですね。
\(\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\)
\(-\sqrt{9}=-\sqrt{3^2}=-3\)になります。
●\(\sqrt{25}=5\)
●\(-\sqrt{25}=-5\)
よくある間違えに注意しよう
「\(\sqrt{9}\)を\(\sqrt{ }\)を使わずに表しなさい」に、\(\pm3\)と解答してしまうことがよくあります。
\(\sqrt{9}\)は、9の平方根のうち正の数なので、\(+3\)です。マイナスの数にはなりませんよ。
\(\pm\)で答えるのは、平方根を問われている時だけです。気を付けてくださいね。
平方根は初めて出てきた言葉で、なんだかとても難しいように感じるかもしれませんが、実は、何を2乗してできている数なのかを考えるだけの、とてもシンプルなものです。また、\(\sqrt{ }\)は平方根を数で表すことが出来ない時に使える、とても便利な記号です。そのように理解すると、それほど難しくないものだと感じませんか？
もし、苦手意識を持っている人がいたら、シンプルに考えてくださいね。
また、この単元をしっかり理解できれば、次の単元の2次方程式の理解がとても楽になりますよ。
頑張って練習しましょう。
練習問題にチャレンジ
問題１ 次の数の平方根を答えなさい。
①25
②81
③0.09
④0.64
⑤\(\frac{1}{4}\)
⑥\(\frac{9}{49}\)
⑦10
⑧13
⑨0.6
⑩\(\frac{3}{5}\)
問題２ 次の数を\(\sqrt{ }\)を使わずに表しなさい。
①\(\sqrt{49}\)
②\(-\sqrt{100}\)
③\(\sqrt{0.25}\)
④\(-\sqrt{0.01}\)
⑤\(\sqrt\frac{16}{25}\)
⑥\(-\sqrt\frac{1}{100}\)
解答１
①\(\pm5\)
②\(\pm9\)
③\(\pm0.3\)
④\(\pm0.8\)
⑤\(\pm\frac{1}{2}\)
⑥\(\pm\frac{3}{7}\)
⑦\(\pm\sqrt{10}\)
⑧\(\pm\sqrt{13}\)
⑨\(\pm\sqrt{0.6}\)
⑩\(\pm\sqrt\frac{3}{5}\)
解答２
①\(7\)
②\(-10\)
③\(0.5\)
④\(-0.1\)
⑤\(\frac{4}{5}\)
⑥\(-\frac{1}{10}\)
家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。
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