乗法公式をマスターしよう　発展編

こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に活動していますプロ家庭教師の咲桜です。

楽しかったGWも終わってしまいましたね。いいGWを過ごせましたか？
GWが終われば、いよいよテストが近づいてくる学校も多いことでしょう。
今日は前回に続いて、中３年数学の最初の単元、展開の乗法公式の発展問題を解説します。

乗法公式

前回乗法公式について解説しましたが、その公式をもう一度確認しておきましょう。
【乗法公式】
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
この公式について、まだ理解が不安な人は、乗法公式の基本編を確認してくださいね。
では、この公式を使い、より複雑な式の計算をしてみましょう。

いろいろな式の計算①

\((x+3)^2-(x-2)(x-4)\)の計算を考えてみましょう。
\((x+3)^2\)も\((x-2)(x-4)\)もそれぞれ公式を使って展開できますので、それぞれを別々に展開して、最後に同類項を計算していきます。とても簡単に感じませんか？　そう、とても簡単なのです。ただ気を付けなければいけないポイントがあります。誤りのある計算と正しい計算を比べてみてください。

【誤りのある計算】
\((x+3)^2-(x-2)(x-4)\)
\(=x^2+6x+9-x^2-6x+8\)
\(=17\)

【正しい計算】
\((x+3)^2-(x-2)(x-4)\)
\(=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+8)\)
\(=x^2+6x+9-x^2+6x-8\)
\(=12x+1\)

どこが間違いかわかりますか？　\((x-2)(x-4)\)の展開後の符号が違うのがわかりますね。正しい計算の手順は、(　)の中で展開して、展開した後(　)を外してます。(　)の前が－の時は、－を(　)の中のすべての項に配らなければいけませんが、誤りのある計算の方ではそれが出来ていません。この計算で一番多い間違いはここになります。(　)の前が＋の時は影響はありませんが、間違いを無くすために(　)の中で展開して、展開した後に(　)を外すようにしましょう。

いろいろな式の計算②

次に\((x+y+2)(x+y+5)\)の計算を考えてみましょう。これは式の中の共通している部分を、１つの文字に置き換えをして展開し、展開後、もとに戻し、さらに展開して求めます。
\((x+y+2)(x+y+5)\)
\(x+y=M\)とすると
\(=(M+2)(M+5)\)
\(=M^2+7M+10\)
\(=(x+y)^2+7(x+y)+10\)
\(=x^2+2xy+y^2+7x+7y+10\)

この例はそれぞれの（　　）の中の共通する部分を文字に置き換えましたが、\((a+b-4)^2\)の計算も\(a+b=M\)と置き、先ほどと同じ手順で展開します。
\((a+b-4)^2\)
\(a+b=M\)とすると
\(=(M-4)^2\)
\(=M^2-8M+16\)
\(=(a+b)^2-8(a+b)+16\)
\(=a^2+2ab+b^2-8a-8b+16\)

これが正確に計算できれば、展開の単元は自信をもってテストに臨めますよ。学校のワークや教科書の問題をたくさん解いて、正確に計算できるように練習しましょう。

練習問題にチャレンジ

問題　次の計算をしなさい。
⑴　\((x-3)(x+6)-(x+5)(x-5)\)
⑵　\((x+2)^2-(x-2)^2\)
⑶　\(2(x+4)(x+5)-(x-4)^2\)
⑷　\((a-b+2)(a-b+7)\)
⑸　\((a+b+5)(a+b-5)\)
⑹　\((x+2y-z)^2\)

解答
⑴　\(3x+7\)
⑵　\(8x\)
⑶　\(x^2+26x+24\)
⑷　\(a^2-2ab+b^2+9a-9b+14\)
⑸　\(a^2+2ab+b^2-25\)
⑹　\(x^2+4xy+4y^2-2xz-4yz+z^2\)

家庭教師の咲桜は、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。学習のお困りごとや心配ごとがありましたら、是非ご相談ください。