因数分解は材料探し？
こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に活動していますプロ家庭教師の咲桜です。
今週は就学旅行があった生徒さんも多く、楽しいお土産話をたくさん聞かせてもらいました。楽しい修学旅行が終われば、もう期末テストが目の前まで迫っているという学校もあるかと思います。
今日は因数分解について解説したいと思います。
「因数」って何？
そもそも因数分解の「因数」とは何でしょうか？ 因数とは、「掛け算をしたときの材料になる数や式」のことです。
例えば、\(12\)という数は\(3×4\)と考えることが出来ます。\(12\)は「\(3\)と\(4\)を掛けてできた数」なので、
\(3\)と\(4\)が\(12\)を作る材料になっています。この材料が因数です。つまり\(3\)と\(4\)は\(12\)の因数です。もちろん\(2×6\)と考えれば\(2\)と\(6\)も\(12\)の因数です。
このように\(12\)の因数は、「\(12\)を掛け算で作る材料」と考えると理解しやすいですね。
式にも因数がある
因数があるのは数字だけではありません。式にも因数があります。
例えば、\(x(x+5)\)は\(x×(x+5)\)なので、\(x(x+5)\)を掛け算で作る材料は、\(x\)と\(x+5\)になります。
つまり\(x\)と\(x+5\)は\(x(x+5)\)の因数となります。
\(x(x+5)\)を展開すると\(x^2+5x\)になるので
\(x^2+5x=x(x+5)\)の関係式が成り立ちます。
このように、\(x^2+5x\)という式を見たとき、「この式はどんな材料で出来ているのか」を探し、その材料の積の形を作ることが因数分解です。
因数分解の基本のパターンを理解しよう
①共通因数でのくくり出し
各項の共通している因数でくくり出しをする因数分解です。因数分解の中では一番基本となる解き方ですが、意外と見落としてしまうこともあります。各項に共通因数がないか、必ず確認する癖を付けましょう。
例えば \(4x^2y+6xy^2\)は、各項の共通因数が\(2xy\)ですので、\(2xy\)でくくり出します。
\(4x^2y+6xy^2=2xy(2x+3y)\)
共通因数でくくり出した後、（ ）の中に入る式が分からないという人もいますが、各項を共通因数で割った答えを入れます。もし、分からない時は、各項をくくり出した共通因数で割ってください。
これはよくある間違いです。
誤 \(4ax^2+6ax+2a=2a(2x^2+3x)\)
正 \(4ax^2+6zx+2a=2a(2x^2+3x+1)\)
（ ）の中には、共通因数で割った答えを書くようにしましょう。
②公式を使った因数分解
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
公式の中でも、これは一番見分けやすい形です。2乗－２乗の形になっていれば、この公式を使いましょう。
\(x^2-25\)は\(x^2-5^2\)なので
\(x^2-25=(x+5)(x-5)\)
\(9x^2-16y^2\)は\((3x)^2-(4y)^2\)なので
\(9x^2-16y^2=(3x+4y)(3x-4y)\)
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
この公式を使える式の特徴は、
①最初と最後の項が2乗の形になっている。
②真ん中の項は、その最初と最後の2乗する前の数を掛けて2倍の数になっている。
ことです。
例えば \(x^2+6x+9\)は最初の項は\(x^2\)、最後の項は\(3^2\)、真ん中の項は\(x\)と\(3\)を掛けて\(2\)倍した\(6x\)になっています。
つまり、
\(x^2+6x+9\)
\(=x^2+2×x×3+3^2\)
\(=(x+3)^2\)になります。
また、真ん中の項の符号が－の時は、因数分解した（ ）の中の符号も－になります。
\(x^2-8x+16\)
\(=x^2-2×x×4+(-4)^2\)
\(=(x-4)^2\)になります。
この考え方を理解すると、少し複雑な式も考えやすくなります。
\(4x^2+20xy+25y^2\)
\(=(2x)^2+2×2x×5y+(5y)^2\)
\(=(2x+5y)^2\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
この公式は、掛けて最後の項の数、足して真ん中の項の数になる2数を探します。
例えば、\(x^2+8x+15\)なら、
掛けて\(+15\)、足して\(+8\)
になる2数を探します。
すると、\((+3)×(+5)=+15\)、
\((+3)+(+5)=+8\)より、
\(+3\)と\(+5\)の2数が見つかります。
つまり、\(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\)になります。
\(x^2-8x+15\)なら、
掛けて\(+15\)、足して\(-8\)
になる2数を探します。
すると、\((-3)×(-5)=+15\)、
\((-3)+(-5)=-8\)より、
\(-3\)と\(-5\)の2数が見つかりました。
つまり、\(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\)になります。
次に\(x^2+2x-15\)について考えてみましょう。
今回は掛けて\(-15\)、足して\(+2\)
になる2数を探します。
掛けて\(-\)になるということは、\(+\)の数と\(-\)の数の２数になることがわかりますね。あとは足して\(+2\)になるように符号を考えると、
\((-3)×(+5)=-15\)、
\((-3)+(+5)=+2\)より、
\(-3\)と\(+5\)になりますね。
つまり、\(x^2+2x-15=(x-3)(x+5)\)になります。
2数の符号に気を付けて、2数を探すようにしましょう。
因数分解は「パズル」に似ている
因数分解の理解はできましたか？
因数分解が苦手な人の多くは、「公式を覚える単元」だと思っています。
しかし実際は、「この式の掛け算の材料は何と何の組み合わせかな？」と考えるパズルに近いものです。
公式の特徴を覚えて、どのような数の組み合わせになるのか、パズル感覚で取り組むと、因数分解を解くのが楽しくなるかもしれませんね。
また、因数分解は展開の逆です。因数分解した式を展開して、元の式と同じになっていれば、因数分解が正しく出来ていることが確認できます。もし不安な時は、展開して確かめましょう。
この因数分解は、後に学ぶ2次方程式の単元で使います。因数分解に自信がつけば、2次方程式も得意になりますよ。頑張って練習しましょう。
練習問題にチャレンジ
問題 次の式を因数分解しなさい
① \(x^2-3xy+5x\)
② \(6a^2-2a\)
③ \(x^2-36\)
④ \(9a^2-49b^2\)
⑤ \(x^2+10x+25\)
⑥ \(a^2-2a+1\)
⑦ \(4x^2+12xy+9y^2\)
⑧ \(x^2+7x+10\)
⑨ \(a^2-9a+18\)
⑩ \(x^2+x-12\)
⑪ \(x^2-3x-28\)
解答
① \(x^2-3xy+5x=x(x-3y+5)\)
② \(6a^2-2a=2a(3a-1)\)
③ \(x^2-36=(x+6)(x-6)\)
④ \(9a^2-49b^2=(3x+7y)(3x-7y)\)
⑤ \(x^2+10x+25=(x+5)^2\)
⑥ \(a^2-2a+1=(a-1)^2\)
⑦ \(4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2\)
⑧ \(x^2+7x+10=(x+2)(x+5)\)
⑨ \(a^2-9a+18=(z-3)(x-6)\)
⑩ \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\)
⑪ \(x^2-3x-28=(x-7)(x+4)\)
家庭教師の咲桜は、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。学習のお困りごとや心配ごとがありましたら、是非ご相談ください。