11月 02 2026

関数を得意にしよう【関数\(y=ax^2\)の特徴】

こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。

10月も終わりますが、まだ晴れた日の日中は暑く感じられる日もあり、少し前の10月とはずいぶん違い、最近では秋をあまり感じなくなったような気がします。このまま短い空き終わり、寒くなってしまうのでしょうか？
秋が短いのは少し残念です。

今日から、関数の最後の単元、関数 \(y=ax^2\) についての解説になります。
前回まで何回かに渡り関数を解説しました。中学校で学習する関数は、中１で学習する比例と反比例、中２で学習する一次関数、それと、中３で学習する \(y=ax^2\) になります。中学校で学習する関数は、これで全部になります。

それでは、関数 (y=ax^2\) について解説していきます。

関数 \(y=ax^2\) とはどんな関数？

これまでにも開設しましたが、\(y=ax^2\) のそれぞれの文字には次のような意味があります。

\(x\) … 変数（自分で決める値）
\(y\) … 変数（ ¥(x¥) の値によって決まる値)
\(a\) … ０ではない定数（比叡定数）

では具体的な式でこの関数の特徴を確認してみましょう。

\(y=ax^2\) の \(x\) と \(y\) の関係を確認しよう

【① \(y=2x^2\) について調べてみよう】

\(y=2x^2\) の \(x\) と \(y\) の関係について表にしてみましょう。

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(32\)	\(18\)	\(8\)	\(2\)	\(0\)	\(2\)	\(8\)	\(18\)	\(32\)

【② \(y=-2x^2\) について調べてみよう】

\(y=-2x^2\) の \(x\) と \(y\) の関係について表にしてみましょう。

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(-32\)	\(-18\)	\(-8\)	\(-2\)	\(0\)	\(-2\)	\(-8\)	\(-18\)	\(-32\)

上の２つの表から次のことがわかります。

\(x\) が２倍、３倍になると、\(y\) は４倍、９倍となる。
言い換えれば、\(x\) が２倍。３倍になると、\(y\) は \(2^2\) 倍、\(3^2\) 倍となる。
\(y\) の値は０を中心に対象になっている。
①の \(y\) の値は０以上で、②の \(y\) の値は０以下。

つまり、

\(x\) と \(y\) の関係が、
\(y=ax^2\) （\(a\) は定数）で表されるとき、
\(y\) は \(x\) の２乗に比例すると言います。
このとき、\(a\) を比例定数といいます。

また、
\(a＞0\) のとき \(y\) の値は０以上　
\(a＜0\) のとき \(y\) の値は０以下　となります。

問題の解き方

【例題】
\(y\) は \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=12\) です。
① \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
② \(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
③ \(y=48\) のときの \(x\) の値をもとめなさい。

【①の解き方】

\(y\) は \(x\) の２乗に比例するので、求める式を \(y=ax^2\) とします。
この式に\(x=2, y=12\) を代入して \(a\) の値を求める。

\(y=ax^2\) に \(x=2, y=12\) を代入
\(12=a×2^2\)
\(4a=12\)
\(a=3\)

よって答えは
\(y=3x^2\) になります。

【②の解き方】

①で求めた式に \(x=-3\) を代入して \(y\) の値を求める。

\(y=3×(-3)^2\)
\(y=27\)

よって答えは　\(y=27\)

【③の解き方】

①で求めた式に \(y=48\) を代入して \(x\) の値を求める。

\(48=3x^2\)
\(x^2=16\)
\(x=\pm4\)

よって答えは　\(x=\pm4\)

問題③のように１つの \(y\) の値に対応する (\(x\) の値は、＋と－の２数になります。
間違えないように注意しましょう。

\(y=ax^2\) の関数の特徴は理解できましたか？
次回は \(y=ax^2 \) のグラフの特徴について学習しましょう。

では、練習問題に挑戦して、理解の確認をしてください。

練習問題にチャレンジ

問題
\(y\) は \(x\) の2乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=8\) です。
① \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
② \(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
③ \(y=32\) のときの \(x\) の値を求めなさい。

解答
① \(y=2x^2\)
② \(y=18\)
③ \(x=\pm4\)

解き方
① \(y=ax^2\) に \(x=2, y=8\) を代入する。
\(8=a×2^2\)
\(a=2\)

よって \(y=2x^2\)

② ①で求めた式に \(x=-3\) を代入する。
\(y=2×(-3)^2\) 　
\(y=18\)

③ ①で求めた式に \(y=32\) を代入する。
\(32=ax^2\)
\(x=\pm4\)

家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。

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