咲桜のコラム

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解き方解説　数学

２次方程式の解き方―解の公式

こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。

シルバーウィークが始まりました。台風が近づくようで、天気があまりよくないようですが、せっかくの連休ですので楽しく過ごしてください。

前回、前々回と２次方程式の解き方を解説しましたが、今日はその最後になります。２次方程式の解の公式を使った解き方を解説します。

解の公式はいつ使うの？

前回まで平方根を利用した解き方と、因数分解を利用した解き方を解説しました。平方根を利用した解き方には、平方の形を自分で作って解を求める方法も解説しました。

しかし、どんな式でも因数分解ができるわけではありません。
また、\(x^2+3x-5=0\)や、\(2x^2+5x-8=0\)のように、
\(x\)の係数が奇数の時や、\(x^2\)の係数が\(1\)ではない時は、平方の形を作るのも大変です。

そのような時は解の公式を使って解を求めることが出来ます。
解の公式は代入して求めればよいだけなのですが、計算が大変な時もありますので、
因数分解が出来ない時や、平方の形を作れない時に利用するようにしましょう。

解の公式を覚えよう

解の公式は次のようになります。

2次方程式ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

の解は、x=−b±b2−4ac2a\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

で求められます。

文字がたくさんあり、なんか難しそうと感じるかもしれませんが、解の公式は正確に代入して計算すれば解を求めることが出来ます。

\(a, b, c \)の文字は次のようになります。

  • \(a\)…\(x^2\)の係数
  • \(b\)…\(x\)の係数
  • \(c\)…定数項(数字だけの項）

例えば\(2x^2-3x-1=0\)の場合
\(a=2, b=-3, c=-1 \)となります。

\(-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\)の「\(\pm\)」の意味

また、ルートの前の符号が±になっています。

\(−b\pm\sqrt{b^2−4ac​}\)

の「±」は、−b+b2−4ac-b+\sqrt{b^2-4ac}

と−b−b2−4ac-b-\sqrt{b^2-4ac}

の2通りを計算するという意味です。
したがって、通常は2つの解が出てきます。

実際に解の公式を使ってみよう

\(2x^2-3x-1=0\)を解いてみましょう。
\(x^2\)の係数が\(1\)ではなく、\(x\)の係数が奇数です。因数分解ができず、平方の形も作りにくそうです。
その時は解の公式を使いましょう。

\(2x^2-3x-1=0\)を解きます。

STEP１　a,b,cの文字の数を確認する

\(a=2\)、 \(b=-3\)、 \(c=-1\)、と確認します。
メモを書くと間違いを防止できるかもしれません。

STEP２　公式に代入する

x=−(−3)±(−3)2−4×2×(−1)2×2x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}

ここでｂの代入の仕方を気を付けましょう。
\(-b\)なので\(b\)の符号が－の時は\(-(-3)\)となり\(+3\)になります。

STEP３　正確に計算する

公式に正確に代入出来たら、後は慎重に計算してください。

x=3±9+84x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{4}
=3±174=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}

STEP４　√の中を簡単にし約分が出来れば約分をする。√が外せる場合は\(\pm\)の両方を計算する

今回の式は√の中を簡単にしたり、√を外せないので、これが答えになります。

他のパターンも解いてみましょう。

パターン①　√がはずせる場合

\(2x^2+3x-2=0\)

\(a=2\), \(b=3\), \(c=-2\)を代入して計算をする。

x=−3±32−4×2×(−2)2×2x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-2)}}{2×2}
=−3±9+164=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}
=−3±254=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{4}

となりました。√が外せるので外して、\(\pm\)のそれぞれを計算する。

x=−3+54=24=12x=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
x=−3−54=−84=−2x=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2

よって答えは

x=12,−2x=\frac{1}{2}, -2

となります。

パターン②　√の中を簡単にして、約分できるか確認する

\(2x^2-6x+3=0\)

\(a=2\), \(b=-6\), \(c=3\)を代入して計算する。

x=−(−6)±(−6)2−4×2×32×2x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4×2×3}}{2×2}
x=6±36−244x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{4}
x=6±124x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}

となりました。√の中を簡単にする。

x=6±234x=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{4}

ここで約分が出来ないか確認します。
この約分も間違いやすいポイントです。
６と２と４の３数が同じ数で割れるときだけ約分できます。
今回はすべて２で割れるので約分できます。

よって答えは

x=3±32x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}

になります。

解の公式の注意点

注意点①　代入を正確にする

ａ,ｂ,ｃの数を確認して、正確に代入しましょう。　
特にｂの数がマイナスの時は\(-(-b)\)となりますので注意しましょう。

注意点②　√の中を簡単にできないか、また外せないか確認する

√の中が簡単にできるときは必ず簡単にしましょう。また√が外せる場合は±の両方を計算します。

注意点③　√の中を簡単にしたときは約分が出来ないか確認する。

√の中を簡単にした場合は約分を正確に行いないましょう。
上のパターン②のように3数が同じ数で約分できるときだけ約分できます。

例えば解の公式が

x=3±256x=\frac{3\pm2\sqrt{5}}{6}

となった場合、３と６は３で約分でき、２と６は２で約分できますが、この３数は同じ数で約分できません。
ですので、この場合は約分できませんので、これ以上計算できませんよ。間違いの多いポイントです。気を付けてくださいね。

２次方程式の解き方のまとめ

これまで３回にわたって２次方程式の解き方の解説をしてきました。
２次方程式はどの方法を使っても解くことはできます。
式を見てどの方法が一番解きやすいかを考えて、解く方法を決めてください。

解の公式は正確に計算出来れば便利ですが、時間もかかりますので、因数分解ができない時、平方の利用が難しそうな時に使うようにすればよいと思います。

平方根を利用した解き方と因数分解を利用する解き方はこちらをチェックしてください。
“２次方程式の解き方―基本編”
“２次方程式の解き方―因数分解”

練習問題にチャレンジ

問題　次の２次方程式を解きなさい。
⑴　\(3x^2-7x-1=0\)
⑵　\(2x^2+3x+1=0\)
⑶　\(2x^2-6x-3=0\)

解答
⑴　

x=−(−7)±(−7)2−4×3×(−1)2×3x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4×3×(-1)}}{2×3}
=7±49+126=\frac{7\pm\sqrt{49+12}}{6}
x=7±616x=\frac{7\pm\sqrt{61}}{6}

⑵

x=−3±32−4×2×12×2x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×1}}{2×2}
x=−3±9−84=−3±14=−3±14x=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{4}=\frac{-3\pm1}{4}
x=−12,−1x=-\frac{1}{2},-1

⑶

x=−(−6)±(−6)2−4×2×(−3)2×2x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4×2×(-3)}}{2×2}
=6±36+244=6±604=6±2154=\frac{6\pm\sqrt{36+24}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{4}
x=3±152x=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}


家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。


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