２次方程式の解き方ー基本編
こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。
夏休みも終わり２学期が始まりました。長い夏休みの後の学校生活で、少し疲れている人も多いかもしれませんね。
咲桜の生徒さんも、少しお疲れ気味の人や、体調を崩す人もいました。疲れたときは無理をせず、休みの日にはゆっくりと休むことも大切です。少しずつ慣らしていきましょう。
ただ、２学期早々テストが始まる学校も多くあります。３年生にとっては頑張りたいテストです。ゆっくり休むなど言ってられないと思っている人もいるでしょう。計画的にテストの準備を進めてくださいね。
今日は３年生の今回のテストの範囲に入っている２次方程式の解き方を解説していきます。
２次方程式とは
皆さんは今までも\(2x-7=5\)などの方程式を解いていますね。
これは\(x\)の最高次数が\(1\)ですので、１次方程式です。
一方２次方程式は、\(x^2+8x+15=0\)のように、\(x\)の最高次数が\(2\)になっている方程式です。
つまり、２次方程式とは一般的には
\(ax^2+bx+c=0 (a≠0)\)という式になります。
そして、２次方程式を解くとは、この式が\(0\)となる\(x\)の値を見つけることです。
まずは簡単な２次方程式を解いてみよう
① \(x^2=a\)
この２次方程式は平方根の考え方を利用して解きます。
\(x^2=a\)は
\(x\)は２乗すると\(a\)になる数なので、\(x\)は\(a\)の平方根になります。
なので、\(x=±\sqrt{a}\)となります。
ここで重要なのは±の符号を必ずつけるということです。
これを付け忘れて点数を落とす人がいます。
練習の時から、必ず意識しましょうね。
平方根が理解できていれば、なぜ±が必要なのかわかると思います。
もし、平方根が不安の人は“平方根は実はシンプル”をチェックしてください。
\(x^2=9\)は
\(x\)は２乗すると\(9\)になる数なので、\(x\)は\(9\)の平方根です。
つまり、\(x=±3\)
\(x^2=7\)は
\(x\)は２乗すると\(7\)になる数なので、\(x\)は\(7\)の平方根です。
つまり、\(x=±\sqrt{7}\)
② \((x+m)^2=n\)
次に\((x+m)^2=n\)について考えてみましょう。
これも先ほどと同様に\((x+m)^2\)を２乗の塊と考えて、
平方根の考え方を利用して解きます。
\((x+m)^2=n\)は
\((x+m)\)は２乗すると\(n\)になる数なので、
\((x+m)\)は\(n\)の平方根と考えられます。
したがって、
\(x+m=±\sqrt{n}\)
\(m\)を右辺に移項して、
\(x=-m±\sqrt{n}\)となります。
では実際に解いてみましょう。
\((x-5)^2=16\)は
\((x-5)^2\)を２乗の塊で考えると
\(x-5\)は２乗すると\(16\)になるので、\(x-5\)は\(16\)の平方根です。
つまり、\(x-5=±4\)
次に\(-5\)を右辺に移項して
\(x=5±4\)
\(5+4\)と\(5-4\)のそれぞれを計算して、
\(x=9,1\)になります。
\((x+3)^2=6\)は
\((x+3)^2\)を２乗の塊で考えると
\(x+3\)は２乗すると\(6\)になるので、\(x+3\)は\(6\)の平方根です。
つまり、\(x+3=±\sqrt{6}\)
次に\(+3\)を右辺に移項して
\(x=-3±\sqrt{6}\)
今回は\(-3±\sqrt{6}\)はこれ以上計算できませんので
\(x=-3±\sqrt{6}\)が答えになります。
\((x+m)^2=n\)に変形して解く
次に、
\(x^2+ax+b=0\)の式を
\((x+m)^2=n\)に変形して解く方法について解説します。
これは１学期に学んだ展開の公式
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)を利用しています。
\(x^2+2ax+▢=(x+〇)^2\)の等式を成り立たせるためには
\(▢\)には\(x\)の係数\(2a\)を\(2\)で割った数の２乗を入れ
\(〇\)には\(x\)の係数\(2a\)を\(2\)で割った数が入ります。
つまり、
\(x^2+2ax\)に\(a^2\)を補ってあげれば
\(x^2+2ax\)を\((x+a)^2\)の形に変形することが出来ます。
少し難しいですね。
実際の式で解いてみましょう。
\(x^2+6x\)を\((x+〇)^2\)に変形するためには、
\(x\)の係数\(6\)を\(2\)で割った\(3\)の２乗を補ってあげます。
すると、
\(x^2+6x+3^2=(x+3)^2\)となりますね。
次にこの解き方を利用して２次方程式を解いてみましょう。
\(x^2+6x=2\)
左辺を\((x+〇)^2\)の形に変形したいので、
\(x\)の係数\(6\)を\(2\)で割った\(3\)の２乗を補ってあげます。
この時\(3^2\)を両辺に補うことに注意しましょう。
等式は左辺と右辺の値が等しい式です。
左辺と右辺に同じように足してあげないと、等式が崩れてしましますね。
\(x^2+6x+3^2=2+3^2\)
左辺は平方の形に因数分解して、右辺は計算する。
\((x+3)^2=11\)
これで\((x+m)^2=n\)の形に変形できました。
ここからは今まで解いたように平方根の考え方を利用して解きます。
\((x+3)^2=11\)
\(x+3=±\sqrt{11}\)
\(x=-3±\sqrt{11}\)
もう１問解いてみましょう。
\(x^2-8x+3=0\)
まずは数だけの項\(+3\)を右辺に移項します。
\(x^2-8x=-3\)
次に左辺を平方の形にしたいので、
\(x\)の係数\(-8\)を\(2\)で割った\(-4\)の２乗を両辺に足します。
この時\((-4)^2=16\)でプラスの数なりますので、
\(4^2\)と書いても構いません。
\(x^2-8x+4^2=-3+4^2\)
左辺は平方の形に因数分解をして、右辺は計算し、
平方根の考え方を利用して解き進める。
\((x-4)^2=13\)
\(x-4=±\sqrt{13}\)
\(x=4±\sqrt{13}\)
ここまで、２次方程式の解き方は理解できましたか？
２次方程式の解き方は、これ以外に解の公式を利用した解き方と、
因数分解を利用した解き方があります。
これについては、また次回解説します。
練習問題にチャレンジ
問題１ 次の２次方程式を解きなさい。
⑴ \(x^2=25\)
⑵ \(x^2=\frac{4}{9}\)
⑶ \(x^2=10\)
⑷ \((x-3)^2=49\)
⑸ \((x+2)^2=8\)
問題２ 次の2次方程式を\((x+m)^2=n\)の形に変えて解きなさい。
⑴ \(x^2+10x+9=0\)
⑵ \(x^2-4x-7=0\)
解答１
⑴ \(x=\pm5\)
⑵ \(x=\pm\frac{2}{3}\)
⑶ \(x=\pm\sqrt{10}\)
⑷
\((x-3)^2=49\)
\(x-3=\pm7\)
\(x=3\pm7\)
\(x=10,-4\)
⑸
\((x+2)^2=8\)
\(x+2=\pm2\sqrt{2}\)
\(x=-2\pm\sqrt{2}\)
解答２
⑴
\(x^2+10x+9=0\)
\(x^2+10x=-9\)
\(x^2+10x+5^2=-9+5^2\)
\((x+5)^2=16\)
\(x+5=\pm4\)
\(x=-5\pm4\)
\(x=-1,-9\)
⑵
\(x^2-4x-7=0\)
\(x^2-4x=7\)
\(x^2-4x+2^2=7+2^2\)
\((x-2)^2=11\)
\(x-2=\pm\sqrt{11}\)
\(x=2\pm\sqrt{11}\)
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