平方根の中を簡単にする方法
こんにちは。三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に個人で活動していますプロ家庭教師の咲桜です。
先週までは雨や曇りの日が多く、それほど暑くもなく過ごしやすく感じましたが、今週は暑い日も多かったですね。
いよいよ夏が始まります。今年の夏もきっと暑くなるのでしょうね。
学校の方は、あと１週間で夏休みになりますね。待ち遠しく感じている人も多いでしょう。
今日は、久しぶりに数学の平方根の解説をしようと思います。平方根を苦手にしている人、平方根は難しいと感じている人は、是非確認してくださいね。
平方根の中をできるだけ簡単の数にするってどういうこと？
１学期の期末テストにも、「平方根の中をできるだけ簡単な数にしなさい」という問題があったと思います。
平方根の中を簡単にするってどういうことでしょうか？
ここで、平方根の基本を思い出しましょう。
\(\sqrt{9}=3\)でしたね。
\(\sqrt{ }\)の中が平方数(２乗で出来ている数)の時は\(\sqrt{ }\)を使わずに表すことができました。
もしここが分からない人は“平方根は実はシンプル”を確認してください。
「平方根の中をできるだけ簡単の数にする」とは、このように\(\sqrt{ }\)の中に平方数があれば
\(\sqrt{ }\)の外に出して、\(\sqrt{ }\)の中の数をできるだけ小さな数にすることです。
例えば、\(\sqrt{12}\)を\(\sqrt{ }\)の中の数をできるだけ小さな数にしてみましょう。
まず、\(12\)の中に平方数が隠れてないか考えます。
\(12=4×3\)ですので、\(12\)の中には平方数\(4=2^2\)があります。
\(\sqrt{12}\)
\(=\sqrt{4×3}\)
\(=\sqrt{2^2×3}\)
ですので、\(2\)が\(\sqrt{ }\)の外に出ます。
つまり、\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)になります。
平方根の中を簡単にする手順
その数の中に、平方数が隠れていないかを考えます。
その為にはどういう数の掛け算で出来ているかを考え、
「平方数\(×a\)」という形を作ります。
そして、平方数が何の２乗なのかを考え、それを\(\sqrt{ }\)の外に出します。
【平方根の中を小さくする手順】
①平方根の中の数の掛け算の組み合わせを考える
②「平方数\(×a\)」の形を見つける
③平方数が見つかったら、何の２乗かを考える
④２乗の数を平方根の外に出す。
\(\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{9×2}\)
\(=\sqrt{3^2×2}\)
\(=3\sqrt{2}\)
平方根の中の数が大きい時はいくつかの平方数を見つけよう。
\(\sqrt{72}\)を考えてみましょう。
\(72\)の掛け算の組み合わせを考えると、まず最初の思いつくのが\(9×8\)だと思います。
ここで平方数\(9\)が見つかったので、
\(\sqrt{72}=3\sqrt{8}\)としてしまうと間違えになりますよ。
なぜなら、平方根の中の数\(8\)の中にまだ平方数が隠れていますね。
\(8=4×2\)ですので、まだ平方数\(4\)が隠れていました。
\(72=36×2\)ですので平方数\(36=6^2\)が隠れています。
しかし、このように一番大きい平方数が見つけられなくても大丈夫です。
\(72=9×8=9×4 ×2\)
このように、いっぺんに見つけられなくても
少しずついくつかの平方数の見つけていけば大丈夫です。
\(\sqrt{72}\)
\(=\sqrt{9×8}\) ※ \(8\)の掛け算組み合わせを考える
\(=\sqrt{9×4×2}\)
\(=\sqrt{3^2×2^2×2}\)
\(=3×2\sqrt{2}\)
\(=6\sqrt{2}\)
掛け算で考えられるときは、このように掛け算の組み合わせを考えていきます。
もっと大きな数になった時は素因数分解をして平方数を探しましょう。
平方根の中をできるだけ簡単な数にする手順は理解できましたか？
平方根の中を簡単な数にするとは
「中に隠れている平方数を見つけて、外へ出してあげること」です。
覚えることはたった3つです。
- 中の数をかけ算に分ける
- 平方数（4・9・16・25…）を見つける
- 平方数だけ外へ出す
この3ステップを繰り返せば、どんな問題でも解けるようになります。
また、この手順を理解することは、平方根の掛け算をする際にも役に立ちます。
頑張って練習してくださいね。
練習問題にチャレンジ
問題 次の数の\(\sqrt{ }\)の中をできるだけ簡単な数にしなさい。
① \(\sqrt{20}\)
② \(\sqrt{28}\)
③ \(\sqrt{27}\)
④ \(\sqrt{45}\)
⑤ \(\sqrt{32}\)
⑥ \(\sqrt{48}\)
⑦ \(\sqrt{50}\)
解答
① \(2\sqrt{5}\)
（\(\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{2^2×5}\)）
② \(2\sqrt{7}\)
（\(\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=\sqrt{2^2×7}\)）
③ \(3\sqrt{3}\)
（\(\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{3^2×5}\)）
④ \(3\sqrt{5}\)
（\(\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{3^2×5}\)）
⑤ \(4\sqrt{2}\)
（\(\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=\sqrt{4^2×2}\)）
⑥ \(4\sqrt{3}\)
（\(\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{4^2×3}\)）
⑦ \(5\sqrt{2}\)
（\(\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=\sqrt{5^2×2}\)）
家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。
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