根号をふくむ式の掛け算、割り算の仕方
こんにちは。四日市市、桑名市、鈴鹿市など、三重県の北西部を中心に個人で活動しています、家庭教師の咲桜です。
今週もとても暑い1週間でした。今年の夏も例年同様暑い夏になりそうです。
そして、昨日はほとんどの学校で、終業式が行われました。
いよいよ夏休みが始まります。
暑い夏、体調管理に気を付けて、楽しい夏休みを過ごしてください。
また、時間に余裕がある夏休みの間に、苦手な単元の復習にも取り組んでください。
前回は\(\sqrt{ }\)の中を簡単にする方法を解説しました。そこで、今日は根号をふくむ式の掛け算、割り算の仕方を解説したいと思います。
平方根の基本が不安な人は
“平方根は実はとてもシンプル”
“\(\sqrt{ }\)の中を簡単にする方法”もチェックしてください。
根号をふくむ式の掛け算、割り算は\(\sqrt{ }\)の中で計算するだけ
根号を含む式の掛け算も割り算も、\(\sqrt{ }\)の中で、掛け算、割り算をすればいいだけです。
簡単ですね。
\(\sqrt{2}×\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{2×3}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\sqrt{6}÷\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{\frac{6}{2}}\) ←約分する
\(=\sqrt{3}\)
\(\sqrt{ }\)の中は簡単に
\(\sqrt{ }\)の中で掛け算、割り算をした後、\(\sqrt{ }\)の中は必ず簡単にしてください。
\(\sqrt{2}×\sqrt{8}\)
\(=\sqrt{2×8}\)
\(=\sqrt{16}\) ←\(\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4\)
\(=4\)
\(\sqrt{8}÷\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{\frac{8}{2}}\) ←約分する
\(=\sqrt{4}\) ←\(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)
\(=2\)
効率よく計算しよう
必ず最後に\(\sqrt{ }\)の中を簡単にするのを忘れないでくださいね。
では、効率よく計算する方法を考えてみましょう。
初めに\(\sqrt{ }\)の中を簡単にしてから計算しよう
\(\sqrt{12}×\sqrt{8}\)の計算を考えてみましょう。
まず、このまま\(\sqrt{ }\)の中で計算してみると、
\(\sqrt{12}×\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{12×18}\)
\(=\sqrt{216}\)となります。
そして最後の\(\sqrt{ }\)の中を簡単にすると、
\(\sqrt{216}=\sqrt{6^2×6}=6\sqrt{6}\)
となります。
答えは正解なのですが、
\(12×18\)をして、さらに\(\sqrt{216}\)の根号の中を簡単にするのは、
少し面倒でもあります。
そこで、計算する前に、\(\sqrt{ }\)の中を簡単にできるものがあれば、
簡単にしてから計算します。
\(\sqrt{12}×\sqrt{18}\)
\(=2\sqrt{3}×3\sqrt{2}\)
\(=2×3\sqrt{3×2}\) ←整数同士、\(\sqrt{ }\)同士を計算
\(=6\sqrt{6}\)
こちらの方がとても効率よく計算できますね。
全体で作れる平方数を見つける
では次に\(\sqrt{14}×\sqrt{35}\)を考えてみましょう。
今回はどちらも\(\sqrt{ }\)の中を簡単にすることはできません。
しかし、よく見てみると、\(14\)と\(35\)の両方に\(7\)があります。
そこで、\(14=7×2\)、\(35=7×5\)と分解して
両方の\(7\)で\(7^2\)を作って計算します。
\(\sqrt{14}×\sqrt{35}\)
\(\sqrt{7×2×7×5}\)
\(\sqrt{7^2×2×5}\)
\(7\sqrt{10}\)
このようになるべく効率よく計算できるように、平方数を見つけて計算しましょう。
割り算の時は分母を有理化しよう
有理化とは分数の分母が無理数（\(\sqrt{ }\)の数）の時に、有理数（\(\sqrt{ }\)を使わない数）に変えることを言います。
\(\sqrt{ }\)の中が平方数になった時、\(\sqrt{ }\)を取ることが出来ました。
有理化をするためには、\(\sqrt{ }\)の中に平方数を作るために、同じ数を掛けます。
この時、分母と分子の両方に同じ数を掛けます。
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)の場合、
分母が\(\sqrt{3}\)なので、分母と分子に\(\sqrt{3}\)を掛けます。
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\) ←分母と分子に\(\sqrt{3}\)を掛ける
\(=\frac{\sqrt{6}}{3}\) ←\(\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{3^2}=3\)
根号を含む式の割り算は、
●分数にする
●約分をする(整数同士、\(\sqrt{ }\)同士で約分する)
●分母が\(\sqrt{ }\)の時は有理化をする
\(\sqrt{6}÷\sqrt{15}\)
\(=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}\) ←分数にする
\(=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\) ←約分をする
\(=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}\) ←有理化をする
\(=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
根号を含む式の掛け算、割り算の仕方は理解できましたか？
やり方が理解できれば、正確に計算できるよう、練習を繰り返してください。
練習問題にチャレンジ
問題 次の計算をしなさい。
ただし、\(\sqrt{ }\)の中は簡単にし、
分母は有理化しなさい。
① \(\sqrt{6}×\sqrt{5}\)
② \(\sqrt{7}×(-\sqrt{3})\)
③ \(\sqrt{20}×\sqrt{8}\)
④ \(\sqrt{10}×\sqrt{15}\)
⑤ \(\sqrt{39}÷\sqrt{3}\)
⑥ \(\sqrt{21}÷\sqrt{6}\)
解答
① \(\sqrt{30}\)
② \(-\sqrt{21}\)
③ \(2\sqrt{5}×2\sqrt{2}=4\sqrt{10}\)
④ \(\sqrt{2×5}×\sqrt{3×5}\)\(=\sqrt{5^2×2×3}\) \(=5\sqrt{6}\)
⑤ \(\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}}\) \(=\sqrt{13}\)
⑥ \(\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}}\) \(=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\)\(=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}\) \(=\frac{\sqrt{14}}{2}\)
家庭教師の咲桜は、三重県四日市市、桑名市、鈴鹿市を中心に10年以上の約80名のお子様の指導実績があります。また、心理カウンセラーの資格を持つ講師が、お子様それぞれの目標に合わせて、学習面、精神面の両方からサポートします。
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